2013. január 26., szombat

Vektorok alkalmazása a koordinátageometriában


Alapfogalmak

Vektor: Az irányított szakaszokat vektornak nevezzük. Jelölése:\vec{AB}.
Vektor abszolút értéke: A vektor hosszát a vektor abszolút értékének (vagy más néven nagyságának) nevezzük.\left | \vec{a} \right |
Egyálású v. párhuzamos vektorok:
 Azok a vektorok, melyekhez található egy olyan egyenes, mely mindkettővel párhuzamos.
Egyenlő: 
Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha egyálásúak valamint irányuk és nagyságuk megegyezik.
Ellentett: Két vektor egymás ellentetje, ha egyálásúak, abszolút értékük egyenlő és irányuk ellentétes. Az \vec{a} és a -\vec{a}, valamint az \vec{AB} és \vec{BA} vektorok egymás ellentettjei.
Nullvektor: Olyan vektor, melynek a hossza 0. Ennek a vektornak az iránya megállapodás szerint tetszőleges.  Jelölése: 0

Műveletek vektorokkal

Vektorok összeadása

Def.: Legyen adott egy \vec{a} és egy \vec{b} vektor. Ha az \vec{a} végpontjához helyezzük a \vec{b} vektor kezdőpontját, akkor az \vec{a}kezdőpontjából a \vec{b} végpontjába mutató vektort \vec{a} és \vec{b} összegének nevezzük. Jelölése: \vec{a}+\vec{b}
Tulajdonságai:
Bizonyíthatók a következő azonosságok:
  • \vec{a}+\vec{b} = \vec{b} + \vec{a} (azaz a vektorok összeadása kommutatív)
  • (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) (azaz a vektorok összeadása asszociatív)
  • \vec{a}+0=\vec{a}
  • \vec{a} + -\vec{a} = 0

Vektorok különbsége

Def.: \vec{a} és \vec{b} különbségén a \vec{a} + (-\vec{b}) összeget értjük, amit így szoktunk jelölni: \vec{a} -\vec{b}

Vektor szorzása számmal

Def.:
  • Az a \neq 0 vektor λ valós számmal való szorzatán azt a vektort értjük, melynek abszolút értéke \left | \lambda  \right | \cdot \left | \vec{a}  \right | , iránya pedig
    • λ>0 esetén \vec{a}-val azonos,
    • λ<0 esetén \vec{a}-val ellentétes,
    • λ=0 esetén tetszőleges.
  • A nullvektor szorzata önmaga.
Tulajdonságai:
Bizonyítható, hogy
  • \lambda(\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a}
  • (\lambda + \mu) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}
  • \lambda(\vec{a}+\vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}
Az első kettő a definícióbol következik, a harmadik pedig középpontos hasonlósággal bizonyítható.

Koordinátageometria

Tétel: Ha adott két nem egyálású vektor \vec{u} és \vec{v}, akkor bármelyik velük egysíkú vektor felírható \lambda\vec{u} + \mu\vec{v}alakban. Ez a felírás egyértelmű.
Jelöljünk ki a síkon egy O origót. Az előbbi tétel szerint bármely síkbeli \vec{OP} felírható két nem egyálású \vec{u} és \vec{v}vektor lineáris kombinációjaként egyértelműen. Legyen az így felírt alak: \lambda x\vec{u} + y\vec{v}. Ekkor az (x,y) rendezett számpárt a vektor koordinátáinak nevezzük. Az O pontot, valamint az \vec{u} és \vec{v} vektort együtt bázisnak nevezzük.
Ha a két bázisvektor merőleges egymásra, akkor derékszögű-koordinátarendszert állítják elő. Ez esetben szokás őket i-vel és j-vel jelölni.

Skaláris szorzás

Def.: Két egymással φ szöget bezáró vektor skaláris szorzata
\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a}  | | \vec{b} | cos \varphi
Tulajdonságai:
Bizonyítható, hogy a skaláris szorzásra fennálnak a következő összefüggések:
  • \vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a} (azaz a skaláris szorzás kommutatív)
  • (\lambda \vec{a}) \vec{b}=\vec{a} (\lambda \vec{b})=\lambda (\vec{a} \vec{b})
  • (\vec{a}+\vec{b})\vec{c} = \vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}
    \vec{c}(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\vec{a}+\vec{c}\vec{b} (azaz a skaláris szorzás disztributív)
Az asszociativitás nem értelmezhető a skaláris szorzásra.
Tétel: Két vektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor 0, ha merőlegesek egymásra.
Tétel: Ha adott két vektor koordinátáival együtt \vec{a}(x_1;y_1) illetve \vec{b}(x_2;y_2), akkor a skaláris szorzatuk:
\vec{a}\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
A skaláris szorzás segítségével bizonyítható a koszinusztétel.

Alkalmazások

  • A fizikában rengeteg mennyiséget (elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő stb.) vektorként definiálnak.
  • Számtalan geometriai probléma megoldható az itt leírtak segítségével:
    • Szakasz osztópontjainak meghatározása
    • Koszinusz tétel-bizonyítása
    • Geometriai szélsőértékproblémák
  • Szögfüggvények értelmezése
  • Eltolás definiálása

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése