google.com, pub-5333805121326903, DIRECT, f08c47fec0942fa0

2013. január 25., péntek

A pitagorasz tétel és megforgatása


Pitagorasz tétele:
A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzet területével.
Algebrai alakban: a^2 +b^2 =c^2, ahol a és b a derékszögű háromszög két befogója és c az átfogója.
Bizonyítás:
A Pitagorasz-tétel bizonyítása
I. A legismertebb
Az ábráról leolvasható a tétel bizonyítása.
A két a+b oldalú négyzet területe egyenlő, és ha mindkettőből elvesszük az eredeti háromszög területének 4-szeresét, akkor egyenlő területeket kapunk.
II. A befogó-tétel segítségével
Legyen a háromszög két befogója a és b az átfogója pedig c! Ossza az átfogót a hozzá tartozó magasság
c_1 és c_2 részre!

Ekkor a befogó tételt felírva:
 a^2 = c \cdot c_1
 b^2 = c \cdot c_2
A két egyenletet összeadva:
a^2 + b^2 = c (c_1 + c_2) = c^2
A Pitagorasz-tétel megfordítása:
Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
Vegyünk egy háromszöget, melyre teljesül, hogy a^2+b^2=c^2, ahol a, b és c a háromszög oldalai!
Be fogjuk látni, hogy derékszögű.
Az a és b befogójú derékszögű háromszög átfogója legyen c'! Írjuk fel a Pitagorasz-tételt erre a háromszögre!
a^2+b^2 = {c'}^2
A két egyenletet összevetve kapjuk, hogy c^2 = {c'}^2, amiből c = {c'} következik. Ez viszont azt jelenti, hogy a két háromszög oldalai megegyeznek, így a két háromszög egybevágó, ezért az eredeti háromszögnek is van derékszöge.

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése