Az Univerzum entrópiája és a fekete lyukak

Az Univerzum entrópiája és a fekete lyukak

Az Univerzum egészére érvényes, a gravitációt is magába foglaló termodinamika lehetőségét sokan vitatják, ám Stefan és Boltzmann képletével, amelynek együtthatóját Planck sugárzási törvénye meghatározza, könnyen kiszámítható az egykor létezett termikus egyensúlyból lecsatolódott, azóta kölcsönhatásmentes ideális gázként hűlő kozmikus fotonok és neutrínók által hordozott entrópia. A termodinamikai entrópia sűrűsége a hőmérséklet harmadik hatványával arányos. A 10²⁸ cm méretű eseményhorizontunk belsejében 2,725 K hőmérsékletű fotongáz és 1,96 K hőmérsékletű neutrínógáz mindegyike az önmagában nehezen elképzelhető óriási nagyságrendet képviselő 10⁸⁸ entrópiát hordozza (k egységben számolva!). A gravitációs energia hipotetikus kvantumai jóval korábban csatolódtak le, egyensúlyi gázuk ezért kisebb, 10⁸⁶ entrópiát hordozhat. Amennyiben nem állt fent termikus egyensúly a lecsatolódásuk pillanatában, akkor entrópiájuk e becslésnél kisebb. Az Univerzumban található nem-relativisztikus állapotú, elektromágneses sugárzást kibocsátó anyag entrópiája az anyag-antianyag aszimmetria értéke alapján becsülhető meg. Ezt az információt először a könnyű elemek ősszintézisének elméletéből nyerhető kozmikus előfordulási gyakoriságoknak a csillagászati mérésekkel való összevetéséből sikerült kihámozni. Értéke érzékenyen befolyásolja a kozmikus háttérsugárzás észleléseit is, így ma legpontosabban a háttérsugárzási mérésekből ismert a nem-relativisztikus anyagsűrűségnek a háttérsugárzás entrópiájához viszonyított értéke: N(anyag)/S (foton ) ≈ 10^-9. Az entrópiának az anyagmennyiséggel való arányossága (extenzivitása) miatt S (anyag) ≈ 10⁷⁹. Az Univerzum energiasűrűségét domináló sötét anyag és sötét energia entrópiatartalmáról egyelőre nincs információ. Annyit tudunk, hogy a sötét anyag mennyisége nagyjából hatszorosa a világítani képesnek. Amennyiben nem-relativisztikus nehéz elemi részek alkotják, amint azt a szuperszimmetrikus világra vonatkozó elméleti konstrukciók sugallják, akkor entrópiatartalma legfeljebb egy-két nagyságrenddel lehet nagyobb az elektromágnesesen világító anyagénál. A sötét energia gravitációs hatását mai ismereteink szerint teljesen jól leírja a nem-zérus kozmológiai állandó feltételezése. Miután ebben az állandóban feltevés szerint nincs statisztikai viselkedés, entrópiája zérus. Az utóbbi két kategória természetének részletesebb megismerése entrópiatartalmukat illetően is jelentős módosulásokat eredményezhet. Mindezek a becslések a forró Univerzumban egykor fennálló termodinamikai egyensúlyból kiinduló termikus történethez kapcsolódnak. A statisztikus Boltzmann-definíció egy kiterjesztését használva azonban az entrópia fogalmat az 1970-es években sikerült alapvetően általánosítani. Az alább ismertetendő fejlemények alapján ma úgy tűnik, hogy az Univerzumban a szupermasszív fekete lyukak entrópiatartalma a meghatározó. Jacob Bekenstein (4. kép bal oldalán) 1973-ban, 26 éves korában írta meg tudománytörténeti jelentőségű Black Holes and Entropy című cikkét [3]. A hagyományos termodinamika keretei között fekete lyukakhoz kapcsolható entrópiaparadoxonra J.A. Wheeler (4. kép jobb oldalán) figyelt fel, és Bekenstein számára PhD-témának adta a kérdéskört. Meg kellett értenie, hogy hová lesz a fekete lyukba behulló anyag entrópiája. BekensteinHawking munkáját használta kiindulásként, aki általános tétel szintjére emelte Wheeler másik diákjának,Christodoulou nak bizonyos, az egzakt fekete lyuk megoldások fejlődésére vonatkozó észrevételét. Hawking tétele szerint a fekete lyuk eseményhorizontja felületének területe bármely folyamatban csak nőhet (az eseményhorizonton belülről induló fényjelek véges idő alatt nem jutnak ki a külvilágba). Például két fekete lyuk összeolvadásakor a létrejövő állandósult állapotú objektum (eseményhorizontjának) felülete nem lehet kisebb a két kiinduló fekete lyuk (eseményhorizontjai) felületének összegénél. Bekenstein cikke bevezetésében megjegyzi, hogy „mindez a termodinamika második tételére emlékeztet …., a hasonlóság alapján érdemes a fekete lyukak fizikáját termodinamikai szempontból vizsgálni”. Cikkében javaslatot tett a fekete lyukak entrópiájának és felületének arányos mennyiségként történő azonosítására, és ezzel sikeresen általánosította a termodinamika második tételét a fekete lyukak részvételével zajló folyamatokra. Bekenstein entrópiaképlete a következő:

ahol A a fekete lyuk eseményhorizontjának a felülete, c a fénysebesség, G a Newton-féle gravitációs állandó, h pedig a Planck-állandó. η dimenziótlan arányossági tényezõ. A kvantumosságot jellemzõ hállandó megjelenését az entrópia és a felület mértékegysége közötti átváltás indokolja. Ez az egyetlen univerzális természeti állandó, amely a jó dimenziót adja. Az ismeretlen η számegyütthatót Bekenstein aC.E. Shannon által bevezetett I informatikai entrópiára támaszkodva becsülte meg, amelynek definíciója

Itt p_n a vizsgált rendszer állapotai közül az n-ik megvalósulási valószínűsége. Egy bit információhoz ln2 informatikai entrópia társítható, ha a rendszert kétállapotúnak választva a két alternatív állapotról egyenlő valószínûséget tételezünk fel. Bekenstein egyrészt megbecsülte egy pontszerû tömeg elnyelésénél bekövetkező felületnövekedés alsó korlátját, másrészt a horizont mögötti eltûnésével járó információcsökkenést ráérzéses alapon 1 bitnek választotta. A fekete lyuk entrópianövekedését az informatikai entrópiacsökkenéssel téve egyenlővé jutott az közelítõ becslésre, amelynek egzakt értékét végül Hawking számolta ki. Szokás ezért Bekenstein-Hawking- entrópiát is emlegetni.

A fekete lyukakat az úgynevezett „kopaszsági tétel” miatt kisszámú makroszkopikus adatuk, azaz tömegük, elektromos össztöltésük, teljes impulzusmomentumuk kimerítõ mértékben jellemzi a külsõ megfigyelõ számára. Belsõ szerkezetükrõl semmiféle további információ nem nyerhetõ, például teljesen érdektelen, hogy adott tömegû fekete lyuk milyen folyamat eredményeképpen alakult ki, eseményhorizontjának belsejében a különféle töltésjellegû mennyiségek hogyan oszlanak el. Bekenstein javaslata szerint entrópiájuk mintegy a belsõ szerkezetre vonatkozó információ hiányának mértékét adja meg. Cikkében több, részletesen elemezhetõ példán mutatta meg, hogy egy fekete lyukba behulló, a tömegpontnál bonyolultabb, de még mindig igen egyszerû fizikai rendszer (pl. egy harmonikus oszcillátor) a teljes rendszer (fekete lyuk + oszcillátor) általánosított entrópiájának növekedését eredményezi. Az egyensúly fennállására vonatkozóan semmiféle elõfeltevést nem tett. A hagyományos és a fekete lyukakra bevezetett új entrópia összegének változási irányára vonatkozó kijelentés az általánosított második törvény. Kvázisztatikus tömegelnyelésre azon észrevétel alapján terjesztette ki a második fõtétel differenciális alakját, miszerint az ismert Schwarzschild-megoldásban a fekete lyuk eseményhorizontjának sugara arányos annak tömegével. Miután a tömeget belsõ energiaként értelmezte, a megváltozás energiamérlege azt diktálja, hogy

dM_{fekete lyuk} = T dS_{fekete lyuk}.

Ezzel viszont hõmérséklet is értelmezhetõ a fekete lyukakra. A Schwarzschild-megoldás szerint ugyanis egy nem-forgó fekete lyuk Bekenstein-entrópiája a tömeg négyzetével arányos. Ezért a fenti képlet alján a fekete lyuk Hawking-hõmérséklete annak tömegével fordított arányban változik.

Az egyensúlyi állapotot egy statisztikus mechanikai rendszerben a kezdeti állapottól független, univerzális eloszlású állapot jellemzi. Az egyensúlyból kitérített rendszerek tapasztalat szerint véges idő alatt relaxálnak az egyensúlyi állapotba. Miután a fekete lyuk hőmérsékleti sugárzása egyensúlyi jellege miatt a korábbi (a lyukba való behullás előtti) információt „elfelejti”, Hawking feltételezte, hogy az elemi kvantumfolyamatokra érvényes úgynevezett unitaritási tulajdonság (az együttes valószínűség megmaradása) sérül. Erre kötött fogadást Kip Thorne-nal és John Preskill - lel (5. kép ) valamikor a hetvenes évek végén, amire még visszatérünk. A fekete lyukak előfordulási gyakorisága és jellemző tömege alapján az általuk hordozott entrópiára könnyen kapható becslés. Csillagászati megfigyelések alapján gyanítható, hogy minden galaxismagban, akárcsak a mi galaxisunkban, egy szupermasszív, a Nap tömegének tízmilliószorosát tartalmazó fekete lyuk helyezkedik el. Az Univerzum belátható részében található galaxisok számát 10¹¹-re becsülik. Bekenstein képletét alkalmazva a fekete lyukak teljes entrópiájára az

becslés adható. Levonható a tanulság, hogy az ismert anyagi alkotórészeknek az entrópiához adott termikus járulékát a fekete lyukaknál figyelembe vett információvesztésből származó járulék sok nagyságrenddel felülmúlja. Felmerül a kérdés, egyáltalán van-e felsõ korlát az Univerzum entrópiájára?