2013. január 25., péntek

Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét!


Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög [ívhossz] segítségével!
A körcikk a körlapnak és egy középponti szög tartományának a közös része. Az r sugarú i hosszságú ívhez tartozó körcikk nyílásszöge fokokban kifejezve legyen \alpha fok, az ívmértéke legyen \beta, a kör cikk területe t legyen.
A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe egyenesen arányos.
Ezt felhasználva: \displaystyle \frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{\beta}{2\pi}=\frac{t}{r^2\pi}, innen \to
\displaystyle t=\frac{\pi}{360^\circ\cdot2\cdot\alpha}=\frac{r^2\beta}{2}
az ívmérték definíciója alapján a körív hossza a hozzátartozó középponti szög ívmértékének r-szerese; i=r\cdot\beta. Beírjuk ezt be a körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe:
\displaystyle T=\frac{r\cdot i}{2}
a körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy az őt tartalmazó körcikk területéből kivonjuk kiegészítő háromszög területét: Körszelet területe \displaystyle T=\frac{r^2\cdot\beta}{2-r^2\cdot \frac{sin(\alpha)}{2}}=\frac{i\cdot r}{2-r^2\cdot \frac{sin(\alpha)}{2}} \beta: A körív hosszához tartozó középponti szög.

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése