2013. január 25., péntek

Forgáskúp térfogata


Bizonyítsa be, hogyha a forgáskúp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata
(V =r^2*pi*m /3)!
A forgáskúp térfogatának meghatározása a kör alapú henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. Írjunk a kúpba és a kúp köré egyre nagyobb oldalszámú m magasságú szabályos sokszög alapú gúlákat, melyeknek csúcsa a forgáskúp csúcsával megegyezik. A beírt gúlák alaplapjainak csúcsai a kúp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt gúlák alaplapjainak oldalai érintik a kúp alapkörét. A kúp térfogata a beírt és a körülírt gúlák térfogata között van. Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a beírt és körülírt gúlák magassága megegyezik, a térfogatuk közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, (r^2*pi)-hez tart. Így akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt gúlák térfogata közé esik egyrészt az (r^2*pi*m /3) érték, amihez a köréírt és a beírt gúlák térfogata tart, másrészt a kúp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha a kúp térfogata (V =r^2*pi*m /3).

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése