2013. január 25., péntek

Konvex sokszög


Bizonyítsd be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n -2)\cdot180^\circ</strong><strong>, átlóinak száma pedig \displaystyle n\cdot\frac{(n -3)}{2} !
A.
Az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n -2)\cdot180^\circ
Bizonyítása:
A sokszög minden csúcsából n -3 átló húzható [saját magával és a két szomszédos csúcsba nem rajzolható átló]. Az egy csúcsból húzott n -3 átló a sokszöget n -2 háromszögre bontja.
Ezek belső szögeinek összege: (n -2)\cdot180^\circ. Ez éppen a sokszög belső szögeinek összegét adja
B.
Az n oldal konvex sokszög összes átlójának száma \displaystyle n\cdot\frac{(n -3)}{2}
Bizonyítása:
Az n oldal konvex sokszögben egy csúcsból n -3n csúcsból összesen n\cdot(n -3) átló húzható. Így mindegyik átlót kétszer számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az n\cdot(n -3)-at ezért el kell osztani 2-vel. Az n oldal sokszög összes átlójának száma tehát valóban \displaystyle n\cdot\frac{(n -3)}{2}

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése