google.com, pub-5333805121326903, DIRECT, f08c47fec0942fa0

2013. január 25., péntek

Bozonyítsuk be a gyökkettő irracionális


A bizonyítás az indirekt, tegyük fel, hogy a \sqrt{2} racionális, vagyis felírható \frac{p}{q} alakba, ahol a p, és a q egész számok, és tegyük fel, hogy a p, és q relatív prímek, azaz a \frac{p}{q} tört már leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább egyszerűsíteni.
\sqrt{2} = \frac{p}{q}
Emeljük négyzete az egyenlet mindkét oldalát, majd szorozzunk be q^2-tel.
2 q^2 = p^2
Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy nem csak a p^2 páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a p 2k alakú, akkor a p^2 az 4k^2 alakú. Ezt beírva az “eredeti” egyenletünkbe:
2q^2 =4k^2 Egyszerűsítünk 2-vel: q^2 =2k^2
Ekkor viszont q^2 is páros, amiből következik, hogy q is az. Tehát p és q nem relatív prímek.
Ellentmondásra jutottunk, a kiinduló feltétel hibás, azaz \sqrt{2} irracionális

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése