2013. január 25., péntek

Hasonlóság, bizonyítása


Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló gúlát, a hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k^2, a két gúla térfogatának aránya pedig k^3!
A k valós szám, két hasonló sokszög, illetve két hasonló gúla pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám.
A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk.
Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi.

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése