Bizonyítsa be, hogy a különböző elem k -ad osztájú variációinak száma n faktoriális / (n -k) faktoriális!
Adott n különböző elem, válasszunk ki közülük k-t (k <=n), és vegyük a kiválasztott k elem egy sorrendjét. Így az n elem egy k-ad osztájú variációját nyerjük. Az összes kiválasztott k -as összes lehetséges sorrendjének a száma az n elem összes k -ad osztályú variációinak száma. Ennek bebizonyítására vegyünk egy k rekeszes dobozt! Ebben helyezzük el n elem közül k elemet minden lehetséges módon: n féleképp, (n -1) féleképp, …,(N -k +1) -féleképp. Az első rekeszbe az n elem bármelyike tehető. A második rekeszbe már csak (n -1) elem közül választhatunk [egy elem ugyanis már az első rekeszben van]. Ez (n -1) féle kitöltési lehetőséget ad a második rekesz számára. Az első két rekeszbe így (n*(n -1)) féleképpen tehetők az elemek. Minden rekeszbe egyel kevesebb elem közül választhatunk, mint az előzőbe. A k-adik rekeszbe (n -k +1) elem közül választunk. A doboz teljes kitöltésére összesen (n*(n -1)*…*(N -k +1)) lehetőség adódik.
Ha az eredményt (n -k) faktoriálissal bővítjük, faktoriális jelöléssel is fölírhatjuk:n*(n -1)*…*(N -k +1) =n*(n -1)*…*(N -k +1)*(n -k)*(n -k -1)*…*2*1 /(N -k)*(n -k -1)*…*2*1 =N faktoriális /(n -k)faktoriális.
0 megjegyzés:
Megjegyzés küldése