google.com, pub-5333805121326903, DIRECT, f08c47fec0942fa0

2013. január 25., péntek

A koszinusztétel


Ha egy háromszög oldalai a, b és c, a c oldallal szemközti szöge \gamma, akkor a háromszögre érvényes a következő összefüggés:
c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma
A koszinusztétel segítségével kiszámolható két oldal és közbe zárt szög segítségével a háromszög harmadik oldala, valamint a háromszög oldalainak függvényében a háromszög szögei.
Bizonyítás:
Használjuk az 2.ábra jelöléseit!
Nyilvánvaló,  hogy
\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}
Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát (szorozzuk önmagával skalárisan)!
{\vec{c}} \cdot {\vec{c}} = ( \vec{a} - \vec{b} )\cdot ( \vec{a} - \vec{b} ) = {\vec{a} \cdot {\vec{a}}} + {\vec{b} \cdot \vec{b}} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}(Kihasználtuk, hogy a skaláris szorzás disztributív!)
A skaláris szorzás definícióját alkalmazva kapjuk a kívánt összefüggést:
c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma
Bejegyezte: olivazöld dátum: 14:07

0 megjegyzés:

Megjegyzés küldése